先說結論：乘法公式只有 3 個
- 和的平方：(a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b²
- 差的平方：(a － b)² ＝ a² － 2ab ＋ b²
- 平方差：(a ＋ b)(a － b) ＝ a² － b²
- 最常見的錯誤：(a ＋ b)² 寫成 a² ＋ b²，漏了中間的 2ab。
- 用途：速算、多項式展開，以及之後的因式分解。
為什麼乘法公式很重要？
乘法公式是八年級數學的核心單元之一（實際單元順序依教科書版本而定）。它不只是背三條公式，而是之後因式分解、一元二次方程式的基礎：因式分解就是把乘法公式「倒過來用」。這個單元沒學熟，九年級的二次函數也會跟著吃力。
3 個公式與圖形理解
1. 和的平方：(a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b²
想像一個邊長為（a ＋ b）的正方形，把它切成四塊：一個 a × a 的正方形、一個 b × b 的正方形，以及兩個 a × b 的長方形。四塊面積加起來，就是 a² ＋ 2ab ＋ b²。中間那個 2ab，就是那兩塊長方形。
2. 差的平方：(a － b)² ＝ a² － 2ab ＋ b²
和「和的平方」只差在中間項變成減號，最後的 b² 仍然是加號（因為負數的平方是正的）。
3. 平方差：(a ＋ b)(a － b) ＝ a² － b²
展開後中間的 ＋ab 和 －ab 剛好抵消，只剩下兩個平方相減。
速算應用
| 題目 | 改寫 | 用的公式 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 99² | (100 － 1)² | 差的平方：10000 － 200 ＋ 1 | 9801 |
| 101² | (100 ＋ 1)² | 和的平方：10000 ＋ 200 ＋ 1 | 10201 |
| 102 × 98 | (100 ＋ 2)(100 － 2) | 平方差：10000 － 4 | 9996 |
| 45² | (40 ＋ 5)² | 和的平方：1600 ＋ 400 ＋ 25 | 2025 |
速算題在段考很常見，關鍵是看出數字接近哪個整十、整百，再選對公式。
最常見的 3 種錯誤
| 錯誤 | 錯誤寫法 | 正確寫法 |
|---|---|---|
| 漏掉中間項 | (x ＋ 3)² ＝ x² ＋ 9 | x² ＋ 6x ＋ 9 |
| 中間項忘了乘 2 | (x － 5)² ＝ x² － 5x ＋ 25 | x² － 10x ＋ 25 |
| 係數沒有一起平方 | (2x ＋ 1)² ＝ 2x² ＋ 4x ＋ 1 | 4x² ＋ 4x ＋ 1 |
第三種錯誤最常見：a 是 2x，a² 要寫成（2x）² ＝ 4x²，不是 2x²。遇到係數時，先把 a、b 各是什麼寫清楚，再代入公式。
如果負號運算常出錯，可以先複習〈七年級數學正負數：最常錯的 8 個地方〉。
6 題練習題（附解答）
- (x ＋ 4)²
- (3x － 2)²
- (x ＋ 7)(x － 7)
- (2a ＋ 3b)²
- 用乘法公式計算：998²
- 用乘法公式計算：53 × 47
看解答
- x² ＋ 8x ＋ 16
- 9x² － 12x ＋ 4
- x² － 49
- 4a² ＋ 12ab ＋ 9b²
- 996004（(1000 － 2)² ＝ 1000000 － 4000 ＋ 4）
- 2491（(50 ＋ 3)(50 － 3) ＝ 2500 － 9）
讀書建議
- 先畫圖再背：用正方形切四塊的圖理解和的平方，比死背更不容易忘。
- 寫出 a、b：代公式前先寫「a ＝ 2x，b ＝ 1」，係數錯誤會少很多。
- 正反練習：熟練展開後，試著把 x² ＋ 6x ＋ 9 寫回 (x ＋ 3)²，為因式分解打底。
常見問題
乘法公式有哪幾個？
國中常用的乘法公式有三個：和的平方 (a＋b)² ＝ a²＋2ab＋b²、差的平方 (a－b)² ＝ a²－2ab＋b²，以及平方差 (a＋b)(a－b) ＝ a²－b²。
(a＋b)² 為什麼不等於 a²＋b²？
因為 (a＋b)² 是 (a＋b)×(a＋b)，展開後會多出兩個 ab，也就是 2ab。用邊長 a＋b 的正方形切成四塊來看，中間那兩塊長方形就是 2ab。
乘法公式可以用在哪裡？
可以用來速算（例如 99²、102×98）、展開多項式，也是之後因式分解與一元二次方程式的基礎。
乘法公式常算錯怎麼辦？
代入公式前先寫清楚 a、b 各是什麼，特別注意有係數時要整個平方（例如 (2x)² ＝ 4x²），中間項記得乘 2，最後再檢查正負號。
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