二元一次聯立方程式怎麼解？代入消去法、加減消去法與應用題列式

先說結論：聯立方程式這樣解

1. 核心想法只有一個：先消去一個未知數，變回一元一次方程式。
2. 代入消去法：有一式已經是「y ＝ …」或係數是 1 時最好用。
3. 加減消去法：兩式同一個未知數的係數相同或相反時最快。
4. 算出一個未知數後，代回原式求另一個，並用兩個式子都驗算。
5. 應用題要找出兩個等量關係，才能列出兩個方程式。

什麼是二元一次聯立方程式？

含有兩個未知數（二元），而且未知數都是一次的方程式，例如 x ＋ y ＝ 10，就是二元一次方程式。只有一個式子時，符合的 (x, y) 有很多組；把兩個二元一次方程式放在一起，找出同時讓兩式成立的那一組解，就是解聯立方程式。

解聯立方程式的想法很單純：想辦法消去一個未知數，變成只剩一個未知數的一元一次方程式。如果一元一次方程式還不熟，建議先複習〈國一數學一元一次方程式：解題 4 步驟〉，移項、去括號都會用到。單元出現的年級與順序依版本與學校進度而定。

方法一：代入消去法

把其中一式整理成「y ＝ …」或「x ＝ …」，再代入另一式。

例題 1

y ＝ 2x － 1 ……①
3x ＋ 2y ＝ 19 ……②
把 ① 代入 ②：3x ＋ 2(2x － 1) ＝ 19
3x ＋ 4x － 2 ＝ 19 → 7x ＝ 21 → x ＝ 3
代回 ①：y ＝ 2 × 3 － 1 ＝ 5
答：x ＝ 3，y ＝ 5
驗算：① 2 × 3 － 1 ＝ 5 ✓　② 9 ＋ 10 ＝ 19 ✓

代入時記得加括號：2y 變成 2(2x － 1)，括號外的 2 要乘到每一項，這是最常漏掉的地方。

方法二：加減消去法

把兩式同乘適當的數，讓某一個未知數的係數變成相同或相反，再相減或相加把它消掉。

例題 2

2x ＋ 3y ＝ 12 ……①
3x － 2y ＝ 5 ……②
① × 2：4x ＋ 6y ＝ 24
② × 3：9x － 6y ＝ 15
兩式相加：13x ＝ 39 → x ＝ 3
代回 ①：6 ＋ 3y ＝ 12 → y ＝ 2
答：x ＝ 3，y ＝ 2
驗算：① 6 ＋ 6 ＝ 12 ✓　② 9 － 4 ＝ 5 ✓

口訣：係數相反就相加，係數相同就相減。乘的時候，等號兩邊每一項都要乘，常數項最容易漏乘。

例題 3：有分數的聯立方程式

x/2 ＋ y/3 ＝ 4 ……①
x － y ＝ 3 ……②
先把 ① 去分母（兩邊同乘 6）：3x ＋ 2y ＝ 24，右邊的 4 也要乘 6。
由 ② 得 x ＝ y ＋ 3，代入：3(y ＋ 3) ＋ 2y ＝ 24 → 5y ＋ 9 ＝ 24 → y ＝ 3
x ＝ 3 ＋ 3 ＝ 6
答：x ＝ 6，y ＝ 3
驗算：① 3 ＋ 1 ＝ 4 ✓　② 6 － 3 ＝ 3 ✓

遇到分數、小數或括號，先整理成 ax ＋ by ＝ c 的標準式，再決定用哪一種消去法，步驟會清楚很多。小數也一樣，例如 0.3x ＋ 0.2y ＝ 1.2，可以兩邊同乘 10 變成 3x ＋ 2y ＝ 12，避免小數點位置算錯。

什麼時候用哪一種方法？

兩種方法都會，考試時才能挑最快的那一種。平常練習可以同一題用兩種方法各算一次，答案一樣就代表觀念正確。

無解與無限多解

不是每一組聯立方程式都剛好有一組解：

• 無解：x ＋ y ＝ 3 與 2x ＋ 2y ＝ 8。第二式除以 2 得 x ＋ y ＝ 4，同一個 x ＋ y 不可能同時等於 3 和 4，所以無解。
• 無限多解：x ＋ y ＝ 3 與 2x ＋ 2y ＝ 6。第二式除以 2 就是第一式，兩式其實是同一個條件，所以有無限多組解。

消去的過程中，如果出現「0 ＝ 2」這種不成立的式子，就是無解；如果出現「0 ＝ 0」，就是無限多解。之後學到一次函數的圖形時，會再從「兩條直線平行或重合」的角度理解。

應用題怎麼列式？

聯立方程式應用題的關鍵是：設兩個未知數，就要找到兩個等量關係。

例題 4：買票問題

全票每張 250 元、優待票每張 150 元，一家人共買 9 張票，花了 1750 元，全票和優待票各買幾張？
設全票 x 張、優待票 y 張。
張數：x ＋ y ＝ 9
金額：250x ＋ 150y ＝ 1750
由第一式 y ＝ 9 － x，代入：250x ＋ 150(9 － x) ＝ 1750 → 100x ＝ 400 → x ＝ 4，y ＝ 5
答：全票 4 張、優待票 5 張（驗算：1000 ＋ 750 ＝ 1750 ✓）。

例題 5：和差問題

兩數的和是 50，差是 14，求這兩數。
設大數 x、小數 y：x ＋ y ＝ 50，x － y ＝ 14
兩式相加：2x ＝ 64 → x ＝ 32，y ＝ 18
答：兩數是 32 和 18（驗算：32 ＋ 18 ＝ 50，32 － 18 ＝ 14 ✓）。

列式的 3 個小提醒

1. 先寫「設」：清楚寫出 x、y 各代表什麼，單位也要寫，例如「設全票 x 張」。
2. 把題目的條件畫線：每一個「共」「總共」「比…多」通常就是一個等量關係。
3. 答案合不合理：張數、人數不能是負數或小數，算出不合理的答案就回頭檢查列式。

常見錯誤與 5 題練習

• 代入沒加括號：3x ＋ 2(2x － 1) 寫成 3x ＋ 4x － 1。
• 乘倍數漏乘常數項：2x ＋ 3y ＝ 12 乘 2，寫成 4x ＋ 6y ＝ 12。
• 相減時正負號錯：減一個負數要變成加，相減前可以先把整個式子加括號。負數運算常錯，可以參考〈七年級數學正負數：最常錯的 8 個地方〉。
• 只求出一個未知數就停：題目要求 x 和 y，兩個都要寫。

1. x ＝ 2y，x ＋ y ＝ 18
2. x ＋ y ＝ 7，x － y ＝ 1
3. 3x ＋ 4y ＝ 10，2x － y ＝ 3
4. 5x ＋ 3y ＝ 21，2x ＋ 5y ＝ 16
5. 1 本筆記本和 3 枝筆共 85 元，2 本筆記本和 1 枝筆共 70 元，筆記本和筆各多少元？

段考前想排出練習與複習的時間，可以搭配〈國中第二次段考怎麼準備？〉的讀書計畫。

常見問題

二元一次聯立方程式怎麼解？

核心是先消去一個未知數，變成一元一次方程式。可以用代入消去法（把一式整理成 y ＝ … 代入另一式），或加減消去法（讓某個未知數係數相同或相反後相減或相加），算出一個未知數後代回原式求另一個。

代入消去法和加減消去法哪個比較好？

看題目。有一式已經是 y ＝ … 或某個係數是 1 時，用代入法比較快；兩式係數都不是 1，或某個未知數係數已經相同或相反時，用加減法比較不容易出現分數。兩種都會，考試時才能挑最快的方法。

聯立方程式什麼時候無解？

消去過程中出現像「0 ＝ 2」這種不成立的式子時，就是無解，例如 x ＋ y ＝ 3 與 2x ＋ 2y ＝ 8。若出現「0 ＝ 0」，代表兩式其實是同一個條件，有無限多組解。

聯立方程式應用題怎麼列式？

設兩個未知數，就要從題目中找出兩個等量關係，例如「總張數」和「總金額」，各列成一個方程式。解完要代回題目驗算，並寫出題目問的答案與單位。

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