先說結論：比例題這樣想
- 比例式 a：b ＝ c：d，可以轉成 a × d ＝ b × c（外項乘積等於內項乘積）。
- 連比要先讓兩個比裡共同的那一項相同，才能合併。
- 比例分配：先算總份數，再用「總量 × 自己的份數 ÷ 總份數」。
- 正比：y ÷ x 固定（y ＝ kx）；反比：x × y 固定（xy ＝ k）。
- 判斷正反比前，先問：哪一個量是固定不變的？
比與比例式是什麼？
「比」是用來比較兩個量的關係，例如班上男生 12 人、女生 15 人，男女人數比就是 12：15，化成最簡整數比是 4：5。比的前項、後項同乘或同除以同一個（不為 0 的）數，比值不變，這和分數的擴分、約分是一樣的道理。
兩個比相等寫成的式子，就是比例式，例如 x：6 ＝ 4：3。比例式最重要的性質是：
a：b ＝ c：d 時，a × d ＝ b × c（外項乘積 ＝ 內項乘積）
有了這個性質，比例式就能變成一般的方程式來解。如果一元一次方程式還不熟，可以先複習〈國一數學一元一次方程式：解題 4 步驟〉。
比例式怎麼解？
基本題
x：6 ＝ 4：3
外項乘積 ＝ 內項乘積：3x ＝ 6 × 4 ＝ 24
x ＝ 8
驗算：8：6 化簡為 4：3 ✓
含有括號的題目
(x ＋ 2)：5 ＝ (x － 1)：2
2(x ＋ 2) ＝ 5(x － 1)
2x ＋ 4 ＝ 5x － 5
9 ＝ 3x，x ＝ 3
驗算：5：5 ＝ 1，2：2 ＝ 1，兩個比相等 ✓
提醒：交叉相乘時，括號要整個保留，展開時括號外的數要乘到裡面的每一項。
連比與比例分配
連比：先讓共同項相同
已知 a：b ＝ 2：3，b：c ＝ 4：5，求 a：b：c。
兩個比裡共同的項是 b，一個是 3、一個是 4，取最小公倍數 12：
- a：b ＝ 2：3 ＝ 8：12（同乘 4）
- b：c ＝ 4：5 ＝ 12：15（同乘 3）
所以 a：b：c ＝ 8：12：15。常見錯誤是直接寫成 2：3：5，忽略了兩個比裡 b 的「份數」不一樣。
比例分配：先算總份數
兄弟兩人依 3：5 分 1200 元，各分到多少？
總份數 3 ＋ 5 ＝ 8 份，每份 1200 ÷ 8 ＝ 150 元。
哥哥：150 × 3 ＝ 450 元；弟弟：150 × 5 ＝ 750 元。
驗算：450 ＋ 750 ＝ 1200，450：750 ＝ 3：5 ✓
正比與反比怎麼分？
| 正比 | 反比 | |
|---|---|---|
| 固定的量 | y ÷ x 固定 | x × y 固定 |
| 關係式 | y ＝ kx（k ≠ 0） | xy ＝ k（k ≠ 0） |
| 變化 | x 變 2 倍，y 也變 2 倍 | x 變 2 倍，y 變成原來的一半 |
| 生活例子 | 單價固定時，數量與總價 | 總路程固定時，速度與時間 |
判斷的關鍵是找出哪個量固定不變。要特別注意：「一個變大、另一個也變大」不一定是正比。例如正方形的邊長變大，面積也變大，但面積 ÷ 邊長 ＝ 邊長，並不固定，所以面積與邊長不成正比；而周長 ＝ 4 × 邊長，周長與邊長成正比。同樣地，人的年齡和身高雖然一起增加，也不成正比。
生活應用題怎麼列式？
例題 1：買東西（正比）
3 本相同的筆記本 75 元，買 8 本要多少錢？
單價固定，數量與總價成正比：75 ÷ 3 ＝ 25（元／本），25 × 8 ＝ 200 元。
也可以列比例式：3：75 ＝ 8：x，3x ＝ 600，x ＝ 200。
例題 2：工作人數（反比）
一件工作 6 人做 10 天完成，如果每人工作效率相同，改由 15 人做，要幾天？
總工作量固定，人數與天數成反比：6 × 10 ＝ 60，60 ÷ 15 ＝ 4 天。
例題 3：速度與時間（反比）
從家裡到某地 120 公里，時速 40 公里要 3 小時；改成時速 60 公里，要 120 ÷ 60 ＝ 2 小時。速度變成 1.5 倍，時間變成原來的 2/3。
例題 4：地圖比例尺與食譜
比例尺 1：25000 的地圖上量到 6 公分，實際距離是 6 × 25000 ＝ 150000 公分 ＝ 1.5 公里（1 公里 ＝ 100000 公分）。
4 人份的鬆餅要用 300 公克麵粉，6 人份要 300 ÷ 4 × 6 ＝ 450 公克。
列式時記得兩件事：單位要一致（公分、公尺、公里要換算），以及比例式兩邊的對應位置要一致（左邊寫「數量：價錢」，右邊也要寫「數量：價錢」）。之後學到二元一次聯立方程式時，比例關係也常是列式的線索，可參考〈二元一次聯立方程式怎麼解？代入消去法、加減消去法與應用題列式〉。
6 題練習題（附解答）
- x：8 ＝ 15：12，求 x。
- (x ＋ 1)：3 ＝ (x ＋ 5)：5，求 x。
- a：b ＝ 3：4，b：c ＝ 6：7，求 a：b：c。
- y 與 x 成正比，當 x ＝ 4 時 y ＝ 18，求 x ＝ 10 時的 y。
- y 與 x 成反比，當 x ＝ 3 時 y ＝ 12，求 x ＝ 9 時的 y。
- 姊妹依 4：3 分 840 元，姊姊、妹妹各分到多少？
看解答
- x ＝ 10（12x ＝ 8 × 15 ＝ 120）
- x ＝ 5（5(x ＋ 1) ＝ 3(x ＋ 5)，5x ＋ 5 ＝ 3x ＋ 15，2x ＝ 10）
- 9：12：14（b 的 4 與 6 取最小公倍數 12：a：b ＝ 9：12，b：c ＝ 12：14）
- y ＝ 45（k ＝ 18 ÷ 4 ＝ 4.5，y ＝ 4.5 × 10）
- y ＝ 4（xy ＝ 3 × 12 ＝ 36，y ＝ 36 ÷ 9）
- 姊姊 480 元、妹妹 360 元（總份數 7，每份 120 元）
讀這個單元的 3 個小建議
- 先寫出固定的量：每題先在旁邊寫「單價固定」「總量固定」，再決定是正比還是反比。
- 寫清楚對應：列比例式前，先用文字寫「數量：價錢 ＝ 數量：價錢」，避免位置放錯。
- 算完回頭檢查合理性：人變多、天數應該變少；買得多、錢應該變多。答案方向不對，通常是正反比判斷錯了。
常見問題
比例式怎麼解？
正比和反比怎麼判斷？
連比怎麼算？
比例分配題怎麼列式？
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全慧的數學課由顧全老師（Good全名師教學團隊執行長、金安出版社數學科歷屆會考試題解析書籍作者）帶領教學，重視引導思考與解題過程；入班前先做能力分析，再搭配團班或個別指導補強。